任何一个内容足够丰富的逻辑公理系统，例如二阶述词演算，或者是自身不一致的，即是存在这样一个断言，从该公理系统出发，既可推出此断言为真，又可推出此断言为假，或者是不完备的，即存在不能由该系统推出而实际上为真的断言。因此，想从一个公理系统出发来推出整个数学的无矛盾性是不可能的。